New PDF release: Analysis I [Lecture notes]

By Dirk Ferus

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Seien R ⊃ G = i∈I Ui die Vereinigung von offenen Mengen Ui und f eine Funktion auf G. Ist f |Ui stetig f¨ ur alle i ∈ I, so ist f stetig auf G. Beweis. Wir zeigen die Stetigkeit f¨ ur p ∈ G. Nach Voraussetzung gibt es ein i ∈ I, so dass p ∈ Ui . Insbesondere gibt es ein δ > 0 mit Uδ (p) ⊂ Ui . Aus dem Lemma folgt die Behauptung. Satz 127 (Stetigkeit von Umkehrfunktionen). Sei f : R ⊃ J → R streng monoton wachsend (fallend) auf einem Intervall J ⊂ R. Dann ist f injektiv und die Umkehrfunktion f −1 : f (J) → R ist streng monoton wachsend (fallend) und stetig.

Zun¨achst ist (xn ) beschr¨ankt. Es gibt n¨amlich nach Voraussetzung ein N ∈ N, so dass f¨ ur alle n ≥ N xN − 1 < xn < xN + 1. Also ist die Folge (xn )n>N beschr¨ankt, und die endlich vielen Glieder x0 , . . , xN −1 ¨andern daran nichts. Als n¨ achstes w¨ ahlen wir nach Satz 83 eine monotone Teilfolge (xnk )k∈N von (xn ) aus. Diese ist nat¨ urlich wieder beschr¨ ankt, also nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom konvergent gegen ein a ∈ R. An dieser Stelle benutzen wir, dass wir es mit R zu tun haben!

1 1 : 1, , , . . 2 3 : 0, 1, −4, 9, −25, ... : (17) (18) (19) (20) H¨aufig kommen sogenannte rekursive Folgen vor: Man gibt einen (oder mehrere) Anfangswerte und eine Vorschrift, wie sich die Folgenglieder aus den vorangehenden Gliedern ent” wickeln“: Beispiel 60. Seien x0 , b > 0 gegeben. Setze xn+1 = 1 b (xn + ). 4142136 ... Beispiel 61. Die Fibonacci-Folge ist gegeben durch a0 = a1 = 1, an+2 = an + an+1 . 38 (21) Das ergibt (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . ). Diese Folge hat zu tun mit der Vermehrung von Kaninchen.

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus


by Christopher
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